Question

【题目】如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，，三角形是等边三角形，平面平面，E，F分别为，的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由平面平面，可以得到，连接，由角的关系可求出，由线面垂直的判定定理可以得到平面，进而求出平面平面；

（2）过E作，则，，两两垂直，由此可建立空间直角坐标系，利用向量法求直线与平面所成角的正弦值即可.

（1）三角形是等边三角形，点为的中点，所以，

因为平面平面，平面平面，

平面，又，所以平面.

又因为平面，所以.

连接，因为E，F分别为，的中点，所以.

因为，所以.

又因为，所以，

所以，所以.

又因为，所以.

又，所以平面.

又因为平面，所以平面平面.

（2）过E作，则，，两两垂直，

故可如图建立空间直角坐标系.

在中，易求得，，.

则，，，，.

故，，.

设平面的法向量为，

由，可取.

则.

故与平面所成角的正弦值为.