Question

(

x

+1)n的展开式中，只有第6项的系数最大，则x⁴的系数为（　　）

A．45

B．50

C．55

D．60

Answer 1

分析：依题意，n=10，从而可求x⁴的系数．

解答：解：∵(

x

+1)n的展开式中，T_r+1=

C

r n

•(

x

)n-r，
∴第r+1项的系数等于第r+1项的二项式系数，
由二项式系数的先增后减的性质可知，其展开式中中间一项（n为偶数）或二项（n为奇数）的二项式系数最大．
∵(

x

+1)n的展开式中，只有第6项的系数最大，
∴第六项为其展开式中的中间项，
∴(

x

+1)n的展开式中，共有11项，
∴n=10，
∴T_r+1=

C

r 10

•x

10-r

2

•1^r，
由

10-r

2

=4得：r=2．
∴x⁴的系数为

C

2 10

=

10×9

2

=45．
故选A．

点评：本题考查二项式系数的性质，求得r=2是关键，也可以由

C 5 n ＞C 4 n C 5 n ＞C 6 n

求得n，考查分析与运算能力，属于中档题．