Question

(理)如图,A(m,m)、B(n,n)两点分别在射线OS、OT上移动,且=-,O为坐标原点,动点P满足.

(1)求m·n的值;

(2)求点P的轨迹C的方程,并说明它表示怎样的曲线;

(3)若直线l过点E(2,0)交(2)中曲线C于M、N两点(M、N、E三点互不相同),且,求l的方程.

(文)已知等比数列{a_n},S_n是其前n项的和,且a₁+a₃=5,S₄=15.

(1)求数列{a_n}的通项公式;

(2)设b_n=+log₂a_n,求数列{b_n}的前n项和T_n;

(3)比较(2)中T_n与n³+2(n=1,2,3,…)的大小,并说明理由.

Answer 1

答案：(理)解：(1)由已知,得=(m,m)·(n,n)=-2mn=-.

∴m·n=.

(2)设P点坐标为(x,y)(x＞0),由,得

(x,y)=(m,m)+(n,n)=(m+n,(m-n)).

∴消去m,n,可得x²=4mn,又因mn=,

∴P点的轨迹方程为x²=1(x＞0).

它表示以坐标原点为中心,焦点在x轴上,且实轴长为2,焦距为4的双曲线x²=1的右支.

(3)设直线l的方程为x=ty+2,将其代入C的方程,得3(ty+2)²-y²=3,即(3t²-1)y²+12ty+9=0.

易知(3t²-1)≠0(否则,直线l的斜率为±3,它与渐近线平行,不符合题意).

又Δ=144t²-36(3t²-1)=36(t²+1)＞0,设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),则y₁+y₂=,y₁y₂=.

∵l与C的两个交点M、N在y轴右侧,x₁x₂=(ty₁+2)(ty₂+2)=t²y₁y₂+2t(y₁+y₂)+4

=t²·+2t·+4=.∴3t²-1＜0.又∵t=0不合题意,∴0＜t²＜.

又由x₁+x₂＞0,同理,可得0＜t²＜.

由,得(2-x₁,-y₁)=3(x₂-2,y₂),∴

由y₁+y₂=-3y₂+y₂=-2y₂=,得y₂=.由y₁y₂=(-3y₂)y₂=-3y₂²=,

得y₂²=.消去y₂,得=.解之,得t²=,满足0＜t²＜,

故所求直线l存在,其方程为x-y-2=0或x+y-2=0.

(文)解：(1)设数列{a_n}的公比为q,则

方法一:a₁+a₃=a₁+a₁q²=a₁(1+q²)=5,S₄-(a₁+a₃)=a₂+a₄=a₁q(1+q²)=10,

∴q=2,a₁=1,则a_n=2^n-1.

方法二:易知q≠1,则a₁+a₃=a₁+a₁q²=a₁(1+q²)=5,

S₄==a₁(1+q)(1+q²)=15,则1+q=3.

(以下同方法一)

(2)由(1)可得,b_n=+log₂2^n-1=+(n-1)=n+,

所以数列{b_n}是一个以为首项,1为公差的等差数列.

∴T_n=

=.

(3)∵(n³+2)-T_n=(n³-n²-4n+4)=(n-1)(n-2)(n+2),

∴当n=1、2时,(n-1)(n-2)(n+2)=0,即T_n=n³+2.

当n≥3时,(n-1)(n-2)(n+2)＞0,即T_n＜n³+2.

综上可知,n=1、2时,T_n=n³+2;n≥3时,T_n＜n³+2.