Question

已知直线l过点M（4，0）且与抛物线y²=2px（p＞0）交于A、B两点，以弦AB为直径的圆恒过坐标原点O．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）设Q是直线x=-4上任意一点，求证：直线QA、QM、QB的斜率依次成等差数列．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设直线l方程为x=ky+4，代入y2 =2px，得y²-2kpy-8p=0，由此利用韦达定理、向量的数量积结合已知条件能求出抛物线方程．
（Ⅱ）设Q（-4，t）由（Ⅰ）知y₁+y₂=4k，y₁y₂=-16，由此能推导出K_QA+K_QB=

4(y1-t)

y 2 1 +16

+

4(y2-t)

y 2 2 +16

=-

t

4

=2K_QM，从而得到直线QA、QP、QB的斜率依次成等差数列．

解答： （Ⅰ）解：∵直线l过点M（4，0），
∴设直线l方程为x=ky+4，
代入y2 =2px，得y²-2kpy-8p=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=2kp，y1 y2 =-8p，…（2分）^^ 
∵

OA

•

OB

=0，
∴0=x₁x₂+y₁y₂=（ky₁+4）（ky₂+4）-8p
=k²y₁y₂+4k（y₁+y₂）+16-8p，
即0=-8k²p+8k²p+16-8p，解得p=2，
∴抛物线方程为y²=4x．…（6分）
（Ⅱ）证明：设Q（-4，t）由（Ⅰ）知y₁+y₂=4k，y₁y₂=-16，
∴

y

2 1

+

y

2 2

=(y1+y2)2-2y1y2=16k²+32，
∵KQA=

y1-t

x1+4

=

y1-t

y 2 1 4 +4

=

4(y1-t)

y 2 1 +16

，
KQB=

y2-t

x2+4

=

y2-t

y 2 2 4 +4

=

4(y2-t)

y 2 2 +16

，KQM=

t

-8

…（9分）
K_QA+K_QB=

4(y1-t)

y 2 1 +16

+

4(y2-t)

y 2 2 +16

=4×

(y1-t)( y 2 2 +16)+(y2-t)( y 2 1 +16)

( y 2 1 +16)( y 2 2 +16)

=4×

y1 y 2 2 +16y1-t y 2 2 -16t+y2 y 2 1 +16y2-t y 2 1 -16t

y 2 1 y 2 2 +16( y 2 1 + y 2 2 )+16×16

=

-t( y 2 1 + y 2 2 )-32t

8×16+4( y 2 1 + y 2 2 )

=

-t(16k2+32)-32t

8×16+4(16k2+32)

=-

t

4

=2K_QM…（12分）
即直线QA、QP、QB的斜率依次成等差数列．…（13分）

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查直线QA、QM、QB的斜率依次成等差数列的证明，解题时要认真审题，注意向量知识的灵活运用．