Question

已知函数f（x）定义在R上，对任意的x，y∈R，f（x）≠0，且f（x+y）=f（x）f（y）．
（Ⅰ）求f（0），并证明：f（x-y）=

f(x)

f(y)

；
（Ⅱ）若f（x）单调，且f（1）=2．设向量

a

=（

2

cos

θ

2

，1），

b

=（

2

λsin

θ

2

，cos²θ），对任意θ∈[0，2π），f（

a

•

b

）-f（3）≤0恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,抽象函数及其应用,三角函数中的恒等变换应用

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）令y=x=0可得f（0）=f²（0），由于f（x）≠0，即可得出f（0），由f（x+y）=f（x）f（y）可得得f（x）=f[（x-y）+y]=f（x-y）f（y），即可证明；
（II）由于f（0）=1，f（1）=2，且f（x）是单调函数，即可得出f（x）是增函数．利用数量积运算可得

a

•

b

=λsinθ+cos2θ，利用f(

a

•

b

)-f(3)≤0可得λsinθ+cos²θ≤3恒成立，θ∈[0，2π）．通过换元、分类讨论再利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）令y=x=0得f（0）=f²（0），
又∵f（x）≠0，∴f（0）=1，
由f（x+y）=f（x）f（y）得f（x）=f[（x-y）+y]=f（x-y）f（y），
∵f（x）≠0，∴f(x-y)=

f(x)

f(y)

．
（Ⅱ）∵f（0）=1，f（1）=2，且f（x）是单调函数，∴f（x）是增函数．
而

a

•

b

=λsinθ+cos2θ，
∴由f(

a

•

b

)-f(3)≤0，得f（λsinθ+cos²θ）≤f（3），
又∵因为f（x）是增函数，
∴λsinθ+cos²θ≤3恒成立，θ∈[0，2π）．
即sin²θ-λsinθ+2≥0．
令t=sinθ，得t²-λt+2≥0（﹡）．
∵θ∈[0，2π），∴-1≤sinθ≤1，即-1≤t≤1．
令h（t）=t²-λt+2=(t-

λ

2

)2+2-

λ2

4

（-1≤t≤1），
①当

λ

2

＜-1，即λ＜-2时，只需h（-1）≥0，（﹡）成立，
∴λ+3≥0，解得-3≤λ＜-2；                          
②当-1≤

λ

2

≤1，即-2≤λ≤2时，只需h(t)min=h(

λ

2

)=2-

λ2

4

≥0，（﹡）成立，
∴λ²≤8，解得-2

2

≤λ≤2

2

，∴-2≤λ≤2．
③当

λ

2

＞1，即λ＞2时，只需h（1）≥0，（﹡）成立，
∴λ≤3，∴2＜λ≤3，
综上可得：-3≤λ≤3．

点评：本题综合考查了抽象函数问题、函数的单调性、二次函数的单调性等基础知识，考查了换元法、分类讨论、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．