Question

已知a，b，c∈R₊，且

a

1+a

+

b

1+b

+

c

1+c

=1，求证：a+b+c≥

3

2

．

Answer 1

考点：反证法与放缩法

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：令x=

a

1+a

，y=

b

1+b

，z=

c

1+c

，则x+y+z=1，x，y，z∈R₊，a=

x

y+z

，b=

y

x+z

，c=

z

x+y

，可得a+b+c=

x

y+z

+

y

x+z

+

z

x+y

=

1

y+z

+

1

x+z

+

1

x+y

-3，利用基本不等式，即可证明结论．

解答： 证明：令x=

a

1+a

，y=

b

1+b

，z=

c

1+c

，则x+y+z=1，x，y，z∈R₊．
∴a=

x

y+z

，b=

y

x+z

，c=

z

x+y

，
∴a+b+c=

x

y+z

+

y

x+z

+

z

x+y

=

1

y+z

+

1

x+z

+

1

x+y

-3，
∵

1

y+z

+

1

x+z

+

1

x+y

≥3

3	1 y+z • 1 x+z • 1 x+y

，
（y+z）+（x+z）+（x+y）≥3

3	(y+z)(x+z)(x+y)

，
∴两式相乘可得2（

1

y+z

+

1

x+z

+

1

x+y

）≥9，
∴

1

y+z

+

1

x+z

+

1

x+y

≥

9

2

，
∴a+b+c≥

9

2

-3=

3

2

．

点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．