Question

已知点F₁、F₂分别是椭圆

x2

2

+

y2

1

=1的左、右焦点，过F₂作倾斜角为

π

4

的直线，求△F₁AB的面积．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由椭圆

x2

2

+

y2

1

=1可得椭圆的左焦点F₁、右焦点F₂．可得直线AB的方程为y=x-1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆的方程联立化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出．

解答： 解：由椭圆

x2

2

+

y2

1

=1可得椭圆的左焦点F₁（-1，0）、右焦点F₂（1，0）．
∴直线AB的方程为y=x-1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=x-1 x2+2y2=2

，化为3x²-4x=0，
∴x1+x2=

4

3

，x₁x₂=0．
∴|AB|=

(1+12)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[( 4 3 )2-4×0]

=

4 2

3

．
点F₁到直线AB的距离d=

|-1×1-0-1|

2

=

2

．
∴S△AF1B=

1

2

•d•|AB|=

1

2

×

2

×

4 2

3

=

4

3

．

点评：本题考查了直线与椭圆的相交问题转化为直线与椭圆的方程联立及根与系数的关系和弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．