Question

在数列{a_n}中，a₁=1，对任意的正整数n，都有（1-a_n+1）（2+a_n）=2，且a_n≠0．
（Ⅰ）求证：{

1

an

+1}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{

n

an

}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据等比数列的定义，即可证明{

1

an

+1}是等比数列；
（Ⅱ）利用错位相减法即可求数列{

n

an

}的前n项和．

解答： 解：（Ⅰ）∵（1-a_n+1）（2+a_n）=2，
∴a_n-2a_n+1-a_na_n+1=0，
即

1

an+1

-

2

an

=1，
即

1

an+1

+1=2(

1

an

+1)，
又

1

a1

+1=2，
∴{

1

an

+1}是首项为2，公比q=2的等比数列；
（Ⅱ）∵{

1

an

+1}是首项为2，公比q=2的等比数列；
∴

1

an

+1=2•2n-1=2n，
即

1

an

=2n-1，则

n

an

=n(2n-1)，
则数列{

n

an

}的前n项和Sn=2-1+2(2n-1)+…+n（2ⁿ-1）=（2+2×2²+…+n×2ⁿ）-（1+2+…+n），
设T=2+2×2²+…+n×2ⁿ，
则2T=2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，
∴-T=2+2²+2³+…-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
即T=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2-

n(n+1)

2

．

点评：本题主要考查等比数列的判断和证明，要求熟练掌握错位相减法．考查学生的计算能力．