Question

由-1，0，1，2，3这五个数中选三个不同的数组成二次函数y=a²x+bx+c的系数．
（1）开口向下的抛物线有几条？
（2）开口向上且不过原点的抛物线有多少条？
（3）与x轴的正、负半轴各有一个交点的抛物线有多少条？

Answer 1

考点：排列、组合的实际应用

专题：应用题,排列组合

分析：（1）开口向下a＜0，a只能取-1，b、c有A₄²种选法；
（2）开口向上且不过原点，则a＞0且c≠0；
（3）与x轴的正、负半轴各有一个交点，则ac＜0，分类讨论，即可得出结论．

解答： 解：（1）a＜0，a只能取-1，b、c有A₄²种选法，共有A₄²=12（条）；（4分）
（2）a＞0且c≠0，共有C₃¹C₃¹C₃¹=27（条）；（8分）
（3）ac＜0，当a＞0，c＜0时，a、b、c分别有C₃¹、C₃¹、C₁¹种选法；
当a＜0，c＞0时，a、b、c有C₁¹、C₃¹、C₃¹种选法，
共有C₃¹C₃¹C₁¹+C₃¹C₃¹C₁¹=18（条）．（13分）

点评：本题考查排列组合问题，考查抛物线的性质，是一个排列组合与圆锥曲线结合的问题，解题时注意圆锥曲线的标准方程和简单性质的应用．