Question

在直角坐标xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O，B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM=PB，当P变化时，求动点M的轨迹的长度．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,轨迹方程

专题：坐标系和参数方程

分析：设出点M的极坐标（ρ，θ），表示出OP、PB，列出的极坐标方程，再化为普通方程，求出点M的轨迹长度即可．

解答： 解：设M（ρ，θ），θ∈（0，

π

2

），则OP=2cosθ，PB=2sinθ；
∴ρ=OP+PM=OP+PB=2cosθ+2sinθ，
∴ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ；
化为普通方程是x²+y²=2x+2y，
∴M的轨迹方程是（x-1）²+（y-1）²=2（x＞0，y＞0）；
∴点M的轨迹长度是l=

1

2

×2π×

2

=

2

π．

点评：本题考查了极坐标的应用问题，解题时应根据题意，列出极坐标方程，再化为普通方程，从而求出解答来，是基础题．