Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（1，

3

2

），F₁、F₂分别为椭圆C的左、右两个焦点，且离心率e=

1

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知O为坐标原点，直线l过椭圆的右焦点F₂与椭圆C交于M、N两点．若OM、ON 的斜率k₁，k₂满足k₁+k₂=-3，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由椭圆的离心率e=

1

2

，得椭圆方程为

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，把点（1，

3

2

）代入，能求出椭圆的方程．
（2）设直线l为y=k（x-1），代入椭圆方程

x2

4

+

y2

3

=1，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出直线MN的方程．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（1，

3

2

），
F₁、F₂分别为椭圆C的左、右两个焦点，且离心率e=

1

2

，
∴

c

a

=

1

2

，∴a=2c，∴b²=a²-c²=3c²，
∴椭圆方程为

x2

4c2

+

y2

3c2

=1．…（2分）
把点（1，

3

2

）代入椭圆，得

1

4c2

+

( 3 2 )

3c2

=1，解得c²=1．
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（2）若直线l斜率不存在，k1 +k2=0不合题意，
∴直线l的斜率存在．…（5分）
设直线l为y=k（x-1），代入椭圆方程

x2

4

+

y2

3

=1，
得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．…（7分）
依题意△=9k²+9＞0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=

2k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

．…（8分）
∵k₁+k₂=-3，
∴k₁+k₂=

y1

x1

+

y2

x2

=k（

x1-1

x1

+

x2-1

x2

）
=k（2-

x1+x2

x1x2

）
=k（2-

2k2

k2-3

）=-3．…（10分）
整理，得k²-2k-3=0，解得k=3或k=-1．
∴所求直线MN的方程为3x-y-3=0或x+y-1=0．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理的灵活运用．