Question

如图，四棱锥S-ABCD中，ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=a（a＞0），AB=2AD，SD=

3

AD．E为CD上一点，且CE=3DE．
（1）求证：AE⊥平面SBD；
（2）求二面角A-SB-D的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能证明AE⊥平面SBD．
（2）分别求出平面SBD的一个法向量和平面SAB的一个法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．

解答： （1）证明：由题意知DS，DA，DC两两垂直，
∴以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示．
则：D（0，0，0），A（0，a，0），B（0，a，2a），C(0，0，2a)，E(0，0，

a

2

)，S(

3

a，0，0)．

DS

=(

3

a，0，0)，

DB

=(0，a，2a)，

AE

=(0，-a，

a

2

)，
∵

AE • DS =0+0+0=0 AE • DB =0-a2+a2=0.

∴AE⊥DS，AE⊥DB，又DS∩DB=D，
∴AE⊥平面SBD．…（7分）
（2）由（1）知

n

=

AE

=(0，-a，

a

2

)为平面SBD的一个法向量．
又∵

AB

=(0，0，2a)，

SA

=(-

3

a，a，0)，
设平面SAB的一个法向量为m=（x，y，z），
则

m• AB =0 m• SA =0

，即

2az=0 - 3 ax+ay=0

，
取x=1，得

m

=(1，

3

，0)，…（12分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

- 3 a

4 • (-a)2+( a 2 )2

=-

15

5

．
 观察知二面角A-SD-B为锐角，
∴所求的二面角的余弦值为

15

5

．…（15分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．