Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=1，点（S_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，n∈N*．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n
（2）设b_n=log₃a_n+1，T_n是数列{

1

bn•bn+1

}的前n项和，求T₂₀₁₄的值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等比数列的定义即可证明数列{a_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n
（2）求出数列{

1

bn•bn+1

}的通项公式，利用裂项法即可得到结论．

解答： 解：（1）由题意得a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1（n≥2），
两式相减，得a_n+1-a_n=2a_n，
即a_n+1=3a_n，
∵a₁=1，∴a₂=2S₁+1=3，则

a2

a1

=3，
当n≥1时{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列．
∴an=1•3n-1=3n-1．
（2）由（1）得知an=3n-1，b_n=log₃a_n+1=n，

1

bn•bn+1

=

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

，
T2014=

1

b1b2

+…+

1

b2014b2015

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

2014

-

1

2015

)=

2014

2015

．

点评：本题主要考查等比数列的判断以及数列求和，要求熟练掌握裂项法求和，考查学生的运算能力．