Question

在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q，且b₂+S₂=12，q=

S2

b2

（Ⅰ）求a_n与b_n；
（Ⅱ）设数列{c_n}满足c_n=

1

Sn

，求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用待定系数法，建立方程组，求出d，q，即可求a_n与b_n；
（Ⅱ）确定数列{c_n}的通项，利用裂项法，可求{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，
因为

b2+S2=12 q= S2 b2

所以

q+6+d=12 q= 6+d q

…（2分）
解得 q=3或q=-4（舍），d=3．                          …（4分）
故a_n=3+3（n-1）=3n，bn=3n-1．                         …（6分）
（Ⅱ）∵S_n=

n(3+3n)

2

，
∴c_n=

1

Sn

=

2

n(3+3n)

=

2

3

（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=

2

3

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

2

3

（1-

1

n+1

）=

2n

3(n+1)

．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，属于中档题．