Question

已知数列{a_n}满足前n项和S_n=2ⁿ⁺¹-2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b_n=（2n+1）•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据a_n与S_n的关系，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出b_n=（2n+1）•a_n的通项公式，利用错位相减法，即可求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-2）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ，
当n=1时，a₁=S₁=2¹⁺¹-2=4-2=2，满足a_n=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ，
即数列{a_n}为等比数列，
∴an=2n．
（2）∵b_n=（2n+1）•a_n，
∴b_n=（2n+1）•2ⁿ，
则数列{b_n}的前n项和T_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n+1）•2ⁿ，
2T_n=3×2²+5×2³+7×2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ⁺¹，
两式相减得-T_n=6+2×2²+2×2³+2×2⁴+…+2•2ⁿ-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=6+2×

4(1-2n-1)

1-2

-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=-2-（2n-1）2ⁿ⁺¹，
即T_n=2+（2n-1）2ⁿ⁺¹

点评：本题主要考查数列通项公式的求解和数列求和，要求熟练掌握错位相减法．考查学生的计算能力．