Question

讨论直线l：y=kx+1与双曲线C：x²-y²=1的公共点的个数．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：联立y=kx+1与双曲线C：x²-y²=1，化为（1-k²）x²-2kx-2=0．分类讨论：当1-k²=0时，可得k=±1，此时直线l与等轴双曲线的渐近线；当1-k²≠0时，△=4k²+8（1-k²）=0，直线与双曲线有且只有一个公共点；△=4k²+8（1-k²）＞0，直线与双曲线有两个公共点．

解答： 解：联立y=kx+1与双曲线C：x²-y²=1，化为（1-k²）x²-2kx-2=0．
①当1-k²=0时，可得k=±1，此时直线l的方程为y=±x+1，分别与等轴双曲线的渐近线y=±x平行，此时直线l与双曲线有且只有一个交点；
②当1-k²≠0时，由△=4k²+8（1-k²）=0，解得k=±

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，直线与双曲线有且只有一个公共点；
③当1-k²≠0时，由△=4k²+8（1-k²）＞0，解得-

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＜k＜

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，直线与双曲线有两个公共点．

点评：本题考查了直线与双曲线的位置关系及其性质、一元二次方程与△的关系、分类讨论等基础知识与基本方法，属于难题．