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    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的离心率为
    		3
    2
    ，a+b=3．
    （1）求椭圆C的方程．
    （2）设A、B是椭圆C的上、下顶点，P是椭圆上异于A、B的任意一点，记直线PA的斜率为k，PB的斜率为m，求证：mk是定值．
    （3）在（2）的条件下，直线PA、直线PB分别交直线y=-2于点N、M，P到Y=-2的距离为d，求
    |MN|
    d
    的最小值．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
    分析：（1）由已知条件推出
    c
    a
    =
    		3
    2
    a+b=3
    ，由此能求出椭圆C的方程．
    （2）由已知条件得A（0，1），B（0，-1），设P（x0，y0），则y02-1=-
    x02
    4
    ，由k =
    y0-1
    x0
    ，m=
    y0+1
    x0
    ，能求出mk是定值-
    1
    4
    ．
    （3）直线PA：y=kx+1，交直线y=-2于N（-
    3
    k
    ，0），直线PB：y=mx-1，交直线y=-2于M（-
    1
    m
    ，0），P到y=-2的距离d=
    y0+2
    		2
    ，由此能求出
    |MN|
    d
    的最小值．
    解答： （1）解：∵椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的离心率为
    		3
    2
    ，a+b=3，
    ∴
    c
    a
    =
    		3
    2
    a+b=3
    ，解得a=2，b=1，
    ∴椭圆C的方程为
    x2
    4
    +y2=1    ．
    （2）证明：∵A、B是椭圆C
    x2
    4
    +y2=1    的上、下顶点，
    ∴A（0，1），B（0，-1），
    设P（x0，y0），则
    x02
    4
    +y02=1    ，∴y02-1=-
    x02
    4
    ，
    由k =
    y0-1
    x0
    ，m=
    y0+1
    x0
    ，
    得km=
    y0-1
    x0
    •
    y0+1
    x0
    =
    y02-1
    x02
    =
    -
    x02
    4
    x02
    =-
    1
    4
    ，
    ∴mk是定值-
    1
    4
    ．
    （3）解：直线PA：y=kx+1，交直线y=-2于N（-
    3
    k
    ，0），
    直线PB：y=mx-1，交直线y=-2于M（-
    1
    m
    ，0），
    ∴|MN|=-
    3
    k
    +
    1
    m
    =
    k-3m
    mk
    =4（3m-k）
    =4[
    3(y0+1)
    x0
    -
    y0-1
    x0
    ]=
    8(y0+2)
    x0
    ．
    P到y=-2的距离d=
    |y0+2|
    		2
    =
    y0+2
    		2
    ，
    ∴
    |MN|
    d
    =
    8(y0+2)
    x0
    y0+2
    		2
    =
    8
    		2
    x0
    ≥
    8
    		2
    2
    =4
    		2
    ．
    ∴
    |MN|
    d
    的最小值为4
    		2
    ．
    点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的乘积是定值的证明，考查两线段比值为紧小值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．
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    x2
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    +
    y2
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    BC
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    CA
    •
    CB
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    （2）若S=
    1
    2
    ，且|
    BC
    -
    BA
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    1
    a1+1
    +
    1
    a2+1
    +…+
    1
    an+1
    ≥1-
    1
    2n
    ．

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