Question

已知数列{a_n}满足递推关系，a_n+1=

2an2+3an+m

an+1

（n∈N^*），又a₁=1．
（1）当m=1时，求证数列{a_n+1}为等比数列；
（2）当m在什么范围取值时，能使数列{a_n}满足不等式a_n+1≥a_n恒成立？
（3）当-3≤m＜1时，证明：

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

≥1-

1

2n

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出a_n+1+1=2（a_n+1），由此能证明{a_n+1}是等比数列．
（2）由a_n+1≥a_n，得m≥-(an+1)2+1恒成立，由此能推导出当m≥-3时，能使数列{a_n}满足不等式a_n+1≥a_n恒成立．
（3）设cn=

1

an+1

，则cn+1=

1

an+1+1

=

1

2an2+3an+m an+1 +1

=

an+1

2(an+1)2+m-1

，由此能证明

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

≥1-

1

2n

．

解答： （1）解：由an+1=

2 a 2 n +3an+1

an+1

=

(2an+1)(an+1)

an+1

=2an+1，
得a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁+1≠0，
∴{a_n+1}是等比数列．…（4分）
（2）解：由a_n+1≥a_n，a₁=1，得a_n≥1，
∴

2 a 2 n +3an+m

an+1

≥an，
∴m≥-an2-2an，…（6分）
∴m≥-(an+1)2+1恒成立，
∵a_n≥1，∴m≥-2²+1=-3，
∴当m≥-3时，能使数列{a_n}满足不等式a_n+1≥a_n恒成立．…（9分）
（3）证明：由（2）得当-3≤m＜1时，a_n+1≥a_n，∴a_n＞0，
设cn=

1

an+1

，
则cn+1=

1

an+1+1

=

1

2an2+3an+m an+1 +1

=

an+1

2(an+1)2+m-1

，
∵m＜1，∴m-1＜0，
∴cn+1＞

an+1

2(an+1)2

=

1

2(an+1)

=

1

2

cn，
∵c1=

1

a1+1

=

1

2

，
∴cn＞

1

2

cn-1＞

1

22

cn-2＞…＞

1

2n-1

c1=

1

2n

(n≥2)，
∴c1+c2+c3+…cn＞

1

2

+

1

22

+

1

23

+…

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

(n≥2)，
∴

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

≥1-

1

2n

．…（14分）

点评：本题考查数列为等比数列的证明，考查使不等式恒成立的实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．