Question

已知椭圆C的两焦点F₁（-1，0）、F₂（1，0），离心率为

1

2

，直线l：y=kx（k＞0）与椭圆C交于P、Q两点，点P在x轴上的射影为点M．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求直线l的方程，使△PQM的面积最大，并求出这个最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由已知条件推导出c=1，

c

a

=

1

2

，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）由

y=kx x2 4 + y2 3 =1

，得：3x²+4k²x²=12，由此利用三角形面积公式和均值定理能求出直线l的方程和△PQM的面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵椭圆C的两焦点F₁（-1，0）、F₂（1，0），
∴c=1…（1分）
∵椭圆C的离心率为

1

2

，∴

c

a

=

1

2

，
解得a=2，b²=3…（3分）
∴椭圆C的标准方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．         …（4分）
（Ⅱ）由

y=kx x2 4 + y2 3 =1

，得：3x²+4k²x²=12，
xP2=

12

4k2+3

…（6分）
S△PQM=2S△OPM=2×

1

2

|OM|•|PM|=|xP|•|yp|=kxP2
=

12k

4k2+3

…（8分）
=

12

4k+ 3 k

≤

12

2 12

=

3

…（10分）
当且仅当4k=

3

k

，即k=

3

2

时取等号，…（11分）
此时，直线l的方程为：y=

3

2

x，
△PQM的面积的最大值为

3

．…（12分）

点评：本题主要考查直线与椭圆的有关知识、函数求最值的方法，数形结合的思想方法和运算求解能力．