Question

已知函数f（x）的定义域为[0，+∞），值域是[0，+∞）的子集，且满足下列条件：
①对任意x，y∈[0，+∞），都有f[xf（y）]•f（y）=f（x+y）；
②f（2）=0；
③f（x）≠0（0≤x＜2）．
（1）当x≥2时，求证：f（x）=0；
（2）求f（x）的解析式．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的定义域及其求法,函数的值域,函数解析式的求解及常用方法

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）令y=2，代入①，根据②即可证明；
（2）令x=y=0，由①结合③，可得f（0）=1，令2=（2-x）+x，代入①，结合③得到f[xf（2-x）]=0，
由②得xf（2-x）=2，从而得到f（x）=

2

2-x

，也适合x=0，故可得f（x）的解析式．

解答： （1）证明：令y=2，则由①得，f[xf（2）]•f（2）=f（x+2），
再由②得，f（x+2）=0，
∵x≥0，∴当x≥2时，f（x）=0；
（2）解：由（1）得，当x≥2时，f（x）=0；
当x=y=0时，f（0f（0））•f（0）=f（0），则f（0）=0或1，
由③f（0）≠0，故f（0）=1，
令0＜x＜2，则0＜2-x＜2，
由①得，f（2）=f[（2-x）+x}=f[xf（2-x）]•f（2-x）=0，
由③得，f（2-x）≠0，故f[xf（2-x）]=0，
由f（2）=0，则xf（2-x）=2，即f（2-x）=

2

x

，
∴f（x）=

2

2-x

，也适合x=0，
∴f(x)=

2 2-x ，0≤x＜2 0，x≥2

．

点评：本题主要考查抽象函数及应用，考查解决的常用方法：赋值法，正确赋值（式）是解题的关键．