Question

已知矩阵M=

1 0 0 1 2

．
（Ⅰ）求M²，M³，并猜想Mⁿ的表达式；
（Ⅱ）试求曲线x²+y²=1在矩阵M^-1变换下所得曲线的方程．

Answer 1

考点：几种特殊的矩阵变换

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（Ⅰ）利用二阶矩阵的乘法，可求M²，M³，并猜想Mⁿ的表达式；
（Ⅱ）先求出矩阵M^-1，根据矩阵变换特点，写出两对坐标之间的关系，代入曲线x²+y²=1得到曲线x²+y²=1在矩阵M^-1变换下所得曲线的方程．

解答： 解：（Ⅰ） M2=

1 0 0 1 2

1 0 0 1 2

=

1 0 0 1 4

，
M3=M2M=

1 0 0 1 4

1 0 0 1 2

=

1 0 0 1 8

猜想Mn=

1 0 0 1 2n

…（3分）
（Ⅱ）∵|M|=

1

2

，∴M-1=

1 0 0 2

，
即在矩阵M^-1的变换下有

x′=x y′=2y

，故

x=x′ y= 1 2 y′

由x²+y²=1得x′2+(

1

2

y′)2=1，即x′2+

y′2

4

=1
故曲线x²+y²=1在矩阵M^-1变换下所得曲线的方程为x2+

y2

4

=1．…（7分）

点评：本题主要考查二阶矩阵的变换，考查运算求解能力，比较基础．