Question

已知函数f（x）=

1

2

mx²+lnx-2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为（　　）

• A、[0，+∞）
• B、（0，+∞）
• C、[-3，+∞）
• D、[1，+∞）

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：函数f（x）=

1

2

mx²+lnx-2x在定义域（x＞0）内是增函数．即f′（x）=mx+

1

x

-2≥0对于任意x＞0恒成立，即m≥

2

x

-

1

x2

对于任意x＞0恒成立，即m≥（

2

x

-

1

x2

）_max．

解答： 解：∵函数f（x）=

1

2

mx²+lnx-2x在定义域（x＞0）内是增函数，
∴f′（x）=mx+

1

x

-2≥0对于任意x＞0恒成立，
即m≥

2

x

-

1

x2

对于任意x＞0恒成立，
即m≥（

2

x

-

1

x2

）_max．
令g（x）=

2

x

-

1

x2

，
则g′（x）=-

2

x2

+

2

x3

=-

2(x-1)

x3

，
解g′（x）＞0，得0＜x＜1；
解g′（x）＜0，得x＞1．
因此当x=1时，g（x）取得最大值，g（1）=1．
∴m≥1．
故实数m的取值范围为[1，+∞）．
故选：D

点评：正确吧问题等价转化、利用导数研究函数的单调性、极值与最值是解题的关键．