Question

四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面PAD．
（Ⅱ）若CM=PM，MN⊥AB，证明：平面PAD⊥平面PDC．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）作PB的中点G，连结NG，MG，由N，G，均为中点，推断出NG∥BC，进而根据BC∥AD，推断出NG∥AD，最后根据线面平行的判定定理推断出NG∥平面PAD，同理可知MG∥平面PAD，进而根据面面平行的判定定理推断出平面MNG∥平面PAD，根据面面平行的性质推断出MN∥平面PAD．
（Ⅱ）由CM=PM，N为中点，推断出MN⊥PC，进而根据AB∥CD，MN⊥AB，推断出MN⊥CD，利用线面垂直的判定定理可知MN⊥平面PDC，进而由MN∥平面PAD．推断出平面PAD⊥平面PDC．

解答： 证明：（Ⅰ）作PB的中点G，连结NG，MG，
∵N，G，均为中点，
∴NG∥BC，
∵BC∥AD，
∴NG∥AD，
∵AD?平面PAD，NG?平面PAD，
∴NG∥平面PAD，
同理可知MG∥平面PAD，
∵MG?平面MNG，NG?平面MNG，MG∩NG=G，
∴平面MNG∥平面PAD，
∵MN?平面MNG，
∴MN∥平面PAD．
（Ⅱ）∵CM=PM，N为中点，
∴MN⊥PC，
∵AB∥CD，MN⊥AB，
∴MN⊥CD，
∵CD?平面PDC，PC?平面PDC，CD∩PC=C，
∴MN⊥平面PDC，
∵MN∥平面PAD．
∴平面PAD⊥平面PDC．

点评：本题主要考查了面面垂直的判定定理，线面平行的判定定理的运用．第一问中，先证明出面面平行是前提．