Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₃=3且S₅-2a₁=17．等比数列{b_n}中，b₁=a₂，b₂S₃=6．
（Ⅰ）求a_n与b_n；
（Ⅱ）设c_n=a_n+1b_n，设T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据等差数列的性质和条件求出S₅的值，代入条件中的式子求出首项和公差，再代入等差数列的通项公式a_n化简，再由等比数列的通项公式和条件求出公比，代入等比数列的通项公式求出b_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和条件求出c_n的代数式，利用错位相减法求出T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵等差数列{a_n}中的a₃=3，
∴S₅=

5(a1+a5)

2

=5a₃=15，
代入S₅-2a₁=17得，a₁=-1，由a₃=3得，公差d=2，
则a_n=-1+2（n-1）=2n-3，
∵b₁=a₂，b₂S₃=6，
∴b₁=1，且3b₂=6，得b₂=2，即公比q=2，
则b_n=2^n-1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，c_n=a_n+1b_n=（2n-1）•2^n-1，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）2^n-1，①
则2T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）2^n-1+（2n-1）2ⁿ，②
①-②得，-T_n=1+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）2ⁿ
=1+2×

2(1-2n-1)

1-2

）-（2n-1）2ⁿ=（3-2n）2ⁿ-3，
∴T_n=（2n-3）2ⁿ+3．

点评：本题考查了等差数列的性质、通项公式，等比数列的通项公式、前n项和公式，以及错位相减法求数列的和，关键是判断出数列的通项公式的特点，再利用错位相减法求数列的和，这是高考常考的题型．