Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n-5a_n-85，n∈N^*
（1）证明：{a_n-1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）根据Sn=n-5an-85，n∈N*，再写一式S_n+1=（n+1）-5a_n+1-85，两式相减，即可证得{a_n-1}为等比数列；
（2）根据数列{a_n-1}为等比数列，可得数列{a_n}的通项公式，从而可求得S_n；

解答： （1）证明：∵Sn=n-5an-85，n∈N*（1）
∴S_n+1=（n+1）-5a_n+1-85（2），
由（2）-（1）可得：a_n+1=1-5（a_n+1-a_n），即：a_n+1-1=

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（a_n-1），
从而{a_n-1}为等比数列；
（2）由Sn=n-5an-85，n∈N*可得：a₁=S₁=1-5a₁-85，即a₁=-14，
∵数列{a_n-1}为等比数列，且首项a₁-1=-15，公比为

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，
∴通项公式为a_n-1=-15•(

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)n-1，从而a_n=-15•(

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)n-1+1，
∴Sn=n+75•(

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)n-1-90．

点评：本题考查数列递推式的运用，考查构造法证明等比数列，考查数列的求和，属于中档题．