Question

已知等差数列{a_n}的公差为d（d∈Z），前n项的和为S_n，且a₃=20，185＜S₇＜195．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）记b_n=

1

anan+1

，{b_n}的前n项的和为T_n，求证：T_n＜

1

42

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的性质

专题：计算题

分析：（1）①化简185＜S₇＜195⇒②由a₄的范围求d．⇒③求a_n．
（2）①化简b_n⇒②求T_n，⇒③确定大小关系．

解答： 解：（1）∵185＜S₇＜195，
∴185＜7a₄＜195，
即26

3

7

＜a4＜27

6

7

，
即26

3

7

＜20+d＜27

6

7

，又由d∈Z知，
d=7．
所以a_n=20+（n-3）7=7n-1．
（2）b_n=

1

(7n-1)(7n+6)

=

1

7

(

1

7n-1

-

1

7n+6

)，
T_n=

1

7

(

1

6

-

1

13

)+

1

7

(

1

13

-

1

20

)+…

1

7

(

1

7n-1

-

1

7n+6

)
=

1

7

(

1

6

-

1

13

+

1

13

-

1

20

+…+

1

7n-1

-

1

7n+6

)
=

1

7

(

1

6

-

1

7n+6

)
=

n

42n+36

＜

n

42n

=

1

42

．
所以Tn＜

1

42

．

点评：（1）考查了学生对等差数列通项公式及前n项和公式的记忆与理解．（2）考查了学生应用裂项求和法求数列前N项和的能力及放缩法证明不等式的能力．