Question

已知向量

OA

=（3，-4），

OB

=（6，-3），

OC

=（5-m，-3-m）．
（1）若点A，B，C不能构成三角形，求实数m满足的条件；
（2）若△ABC为直角三角形，求实数m的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）先求出

OA

、

OB

、

OC

的坐标，根据A，B，C三点共线，可得

AB

、

AC

共线，再利用两个向量共线的性质，可得3（1-m）=2-m，由此求得m的值．
（2）分①∠A=90°、②∠B=90°、③∠C=90°三种情况，分别利用两个向量垂直的性质，求出m的值．

解答： 解：（1）∵

OA

=（3，-4），

OB

=（6，-3），

OC

=（5-m，-3-m），
若A，B，C三点不能构成三角形，则这三点共线．
∵

AB

=（3，1），

AC

=（2-m，1-m），∴3（1-m）=2-m，∴m=

1

2

即为满足的条件．
（2）由题意，△ABC为直角三角形，
①若∠A=90°，则

AB

⊥

AC

，∴3（2-m）+（1-m）=0，∴m=

7

4

．
②若∠B=90°，则

AB

⊥

BC

，∵

BC

（-1-m，-m），
∴3（-1-m）+（-m）=0，∴m=-

3

4

．
③若∠C=90°，则

BC

⊥

AC

，
∴（2-m）（-1-m）+（1-m）（-m）=0，∴m=

1± 5

2

．
综上可得，m=

7

4

，或m=-

3

4

，或m=

1± 5

2

．

点评：本题主要考查两个向量共线、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．