Question

设函数f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（m，cosx），

b

=（1+sinx，1），x∈R，且f（

π

2

）=2
（1）求实数m的值；
（2）求函数f（x）的最小值及此时x的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用数量积运算可得f（x）=

a

•

b

=m（1+sinx）+cosx，再利用f(

π

2

)=2，可得m的值；
（2）由（1）可得f（x）=sinx+cosx+1=

2

sin(x+

π

4

)+1，再利用正弦函数的单调性研究性即可得出．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

=m（1+sinx）+cosx，
∵f(

π

2

)=2，
∴m(1+sin

π

2

)+cos

π

2

=2，
化为2m=2，解得m=1．
（2）由（1）可得f（x）=sinx+cosx+1
=

2

sin(x+

π

4

)+1，
当x+

π

4

=-

π

2

+2kπ时，即x=2kπ-

3π

4

（k∈Z）时，sin(x+

π

4

)取得最小值-1，此时f（x）取得最小值-

2

+1．

点评：本题考查了数量积运算、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性有界性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．