Question

已知曲线C₁：

x2

4

+

y2

4λ

=1，曲线C₂：

x2

4λ

+

y2

4λ2

=1(0＜λ＜1)．曲线C₂的左顶点恰为曲线C₁的左焦点．
（Ⅰ）求λ的值；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）为曲线C₂上一点，过点P作直线交曲线C₁于A，C两点．直线OP交曲线C₁于B，D两点．若P为AC中点．
①求证：直线AC的方程为x₀x+2y₀y=2；
②求四边形ABCD的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

4λ

=

4-4λ

，由此能求出λ=

1

2

．
（Ⅱ）①由已知条件推导出x02+2y02=2，直线OP：y=

y0

x0

x，联立

y= y0 x0 x x2+2y2=4

，得B(

2

x0，

2

y0)，D(-

2

x0，-

2

y0)，由此能证明直线AC的方程为x₀x+2y₀y=2．
②联立方程组

y=- x0 2y0 x+ 1 y0 x2+2y2=4

，得2x2-4x0x+4-8

y

2 0

=0，由此能求出四边形ABCD的面积为4．

解答： （本题满分15分）
（Ⅰ）解：∵曲线C₁：

x2

4

+

y2

4λ

=1，曲线C₂：

x2

4λ

+

y2

4λ2

=1(0＜λ＜1)，
曲线C₂的左顶点恰为曲线C₁的左焦点，
∴

4λ

=

4-4λ

，
解得λ=

1

2

（5分）
（Ⅱ）①证明：∵λ=

1

2

，∴C1：

x2

4

+

y2

2

=1，C2：

x2

2

+y2=1，
∵P（x₀，y₀）为曲线C₂上一点，
过点P作直线交曲线C₁于A，C两点．直线OP交曲线C₁于B，D两点．
∴x02+2y02=2，直线OP：y=

y0

x0

x，
联立

y= y0 x0 x x2+2y2=4

，得B(

2

x0，

2

y0)，D(-

2

x0，-

2

y0)（7分）
由kOP•kAC=-

b2

a2

=-

1

2

AC：y-y0=k(x-x0)=-

x0

2y0

(x-x0)，
即x₀x+2y₀y=2，
y0=0，x0=±

2

，lAC：x=±

2

，
符合x₀x+2y₀y=2，
∴直线AC的方程为x₀x+2y₀y=2．（9分）
②解：联立方程组

y=- x0 2y0 x+ 1 y0 x2+2y2=4

，
得(1+

x 2 0

2 y 2 0

)x2-

2x0

y 2 0

x+

2

y 2 0

-4=0，
即2x2-4x0x+4-8

y

2 0

=0（11分）
∴|AC|=

1+ x 2 0 4 y 2 0

|xA-xC|
=

1+ x 2 0 4 y 2 0

4 x 2 0 -8+16 y 2 0

=

1+ x 2 0 4 y 2 0

8 y 2 0

，
∵B，D到AC距离d1=

2 2 -2

x 2 0 +4 y 2 0

，d2=

2 2 +2

x 2 0 +4 y 2 0

（13分）
∴S=

1

2

|AC|•(d1+d2)=4，（14分）
当y₀=0时，ABCD面积也为4．
综上：四边形ABCD的面积为4．（15分）

点评：本题考查实数值的求法，考查直线方程的证明，考查四边形面积的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．