Question

已知二次函数f（x）=ax²+x（a∈R）
（1）当0＜a＜

1

2

时，f（sinx）（x∈R）的最大值为

5

4

，求f（x）的最小值；
（2）对于任意的x∈R，总有f（sinxcosx）≤1，试求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数的性质

专题：分类讨论,转化思想,函数的性质及应用

分析：（1）通过0＜a＜

1

2

，求出函数的对称轴的范围，利用正弦函数的最大值，求解f（sinx）（x∈R）的最大值为

5

4

，推出a的值，利用二次函数的最值，求f（x）的最小值；
（2）令t=sinxcosx，转化函数为t的二次函数，通过t 的范围求解a的取值范围．

解答： 解：（1）由0＜a＜

1

2

知-

1

2a

＜-1，
故当sinx=1时f（sinx）取得最大值

5

4

，
即f（1）=a+1=

5

4

，所以a=

1

4

，
所以f（x）=

1

4

x²+x=

1

4

（x+2）²-1，
所以f（x）的最小值为-1．
（2）对于任意的x∈R，总有f（sinxcosx）≤1，
令t=sinxcosx=

1

2

sin2x∈[-

1

2

，

1

2

]，
则命题转化为：任给t∈[-

1

2

，

1

2

]，不等式f（t）≤1，
当t=0时，f（t）=0满足f（t）≤；
当t≠0时，有a≤

1

t2

-

1

t

=（

1

t

-

1

2

）²-

1

4

对于任意的t∈[-

1

2

，0)∪(0，

1

2

]恒成立；
由t∈[-

1

2

，0)∪(0，

1

2

]得

1

t

∈(-∞，-2]∪[2，+∞)，
所以（

1

t

-

1

2

）²-

1

4

≥2，
所以要使a≤

1

t2

-

1

t

恒成立，则有a≤2．

点评：本题考查函数的恒成立问题，二次函数的单调性，分类讨论以及转化思想的应用，考查计算能力．