Question

已知双曲线与椭圆

x2

9

+

y2

25

=1有公共焦点F₁，F₂，它们的离心率之和为2

4

5

．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设P是双曲线与椭圆的一个交点，求cos∠F₁PF₂．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由于椭圆焦点为F（0，±4），离心率为e=

4

5

，可得双曲线的离心率为2，结合双曲线与椭圆

x2

9

+

y2

25

=1有公共焦点F₁，F₂，求出a，b，c．最后写出双曲线的标准方程；
（2）求出|PF₁|=7，|PF₂|=3，|F₁F₂|=8，利用余弦定理，即可求cos∠F₁PF₂．

解答： 解：（1）椭圆

x2

9

+

y2

25

=1的焦点为（0，±4），离心率为e=

4

5

．
∵双曲线与椭圆的离心率之和为2

4

5

，
∴双曲线的离心率为2，
∴

c

a

=2
∵双曲线与椭圆

x2

9

+

y2

25

=1有公共焦点F₁，F₂，
∴c=4，
∴a=2，b=

12

，
∴双曲线的方程是

y2

4

-

x2

12

=1；
（2）由题意，|PF₁|+|PF₂|=10，|PF₁|-|PF₂|=4
∴|PF₁|=7，|PF₂|=3，
∵|F₁F₂|=8，
∴cos∠F₁PF₂=

72+32-82

2•7•3

=-

1

7

．

点评：本题考查椭圆双曲线的标准方程，以及简单性质的应用，考查余弦定理，难度中等．