Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且S_n-1+

1

Sn

+2=0（n≥2）．
（1）写出S₁，S₂，S₃，S₄．（不用写求解过程）
（2）猜想S_n的表达式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：第（1）问，因为a₁=s₁，代入S_n-1+

1

Sn

+2=0（n≥2）可得S₂，依此类推，可得S₃，S₄；
第（2）问，根据第一问结果，猜想出S_n的表达式，然后用数学归纳法证明，先验证n=1时结论成立，然后写出假设，即n=k时，结论成立，利用S_n-1+

1

Sn

+2=0（n≥2），将假设代入上式，解出S_k+1，从而证明n=k+1时结论成立．

解答： 解：由已知得（1）S1=1， S2=-

1

3

， S3=-

3

5

， S4=-

5

7

（2）猜想Sn=

2n-3

2n-1

，
下面用数学归纳法证明：①当n=1时，S1=-

2×1-3

2×1-1

=1，猜想成立；
②假设当n=k（k∈N^★）猜想成立，即Sk=-

2k-3

2k-1

，
那么∵Sk+

1

Sk+1

+2=0，
∴

1

Sk+1

=-2-Sk=-2+

2k-3

2k-1

=-

2k+1

2k-1

∴Sk+1=-

2k-1

2k+1

=

2(k+1)-3

2(k+1)-1

，所以当n=k+1时猜想成立
由①和②，可知猜想对任何n∈N^★都成立．

点评：利用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题，关键在于第二步证明n=k+1时命题成立，一般是找到n=k时与n=k+1时的要证的结论之间的关系，然后将假设代入这个关系式，求出（或者变形得到）我们要的n=k+1时的结论；再就是注意证明时的模式，即（1）验证n取初始值时命题成立，（2）写出假设，由此结合已知推出n=k+1时的结论成立；（3）综上，下结论．