Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右准线为直线l，动直线y=kx+m（k＜0，m＞0）交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为M，射线OM分别交椭圆及直线l于P，Q两点，如图．若A，B两点分别是椭圆E的右顶点，上顶点时，点Q的纵坐标为

1

e

（其中e为椭圆的离心率），且OQ=

5

OM．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）如果OP是OM，OQ的等比中项，那么

m

k

是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

b

a

=

1 e

a2 c

，2a=

5

c．由此能求出椭圆E的标准方程．
（2）把y=kx+m，（k＜0，m＞0），代入

x2

5

+y2=1，得（5k²+1）x²+10mkx+5m²-5=0，由此利用已知条件能求出

m

k

为常数-2．

解答： 解：（1）椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右准线为直线l，
动直线y=kx+m（k＜0，m＞0）交椭圆于A，B两点，
当A，B两点分别是椭圆E的右顶点和上顶点时，
则A（a，0），B（0，b），M（

a

2

，

b

2

）．
∵线段AB的中点为M，
射线OM分别交椭圆及直线l于P，Q两点，
∴Q（

a2

c

，

1

e

），由O，M，Q三点共线，
得

b

a

=

1 e

a2 c

，化简，得b=1．…（2分）
∵OQ=

5

OM，∴

a2 c

a 2

=

5

，化简，得2a=

5

c．
由

a2=b2+c2 b=1 2a= 5 c

，解得a²=5，c²=4，…（4分）
∴椭圆E的标准方程为

x2

5

+y2=1．…（6分）
（2）把y=kx+m，（k＜0，m＞0），代入

x2

5

+y2=1，得
（5k²+1）x²+10mkx+5m²-5=0．…（8分）
当△＞0，5k²-m²+1＞0时，xM=-

5mk

5k2+1

，y_M=

m

5k2+1

，
从而点M（-

5mk

5k2+1

，

m

5k2+1

）．…（10分）
∴直线OM的方程y=-

1

5k

x．
由

y=- 1 5k x x2 5 +y2=1

，得xP2=

25k2

5k2+1

．  …（12分）
∵OP是OM，OQ的等比中项，∴OP²=OM•OQ，
从而xP2 =|x_M|x_Q=-

25mk

2(5k2+1)

．…（14分）
由

25k2

5k2+1

=-

25mk

2(5k2+1)

，得m=-2k，从而

m

k

=-2，满足△＞0． …（15分）
∴

m

k

为常数-2．…（16分）

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足等比中项的常数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意等比中项、椭圆、直线方程等知识点的合理运用．