Question

已知函数f（x）=x³-3x+a有三个零点，则a的取值范围为（　　）

• A、（-∞，-2）∪（2，+∞）
• B、（-∞，2]∪[2，+∞）
• C、（-2，2）
• D、[-2，2]

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：已知条件转化为函数有两个极值点，并且极小值小于0，极大值大于0，求解即可．

解答： 解：由函数f（x）=x³-3x+a有三个不同的零点，
则函数f（x）有两个极值点，极小值小于0，极大值大于0；
由f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）=0，解得x₁=1，x₂=-1，
所以函数f（x）的两个极，x∈（-∞，-1），f′（x）＞0，x∈（-1，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
∴函数的极小值f（1）=a-2和极大值f（-1）=a+2．
因为函数f（x）=x³-3x+a有三个不同的零点，
所以

a+2＞0 a-2＜0

，解之，得-2＜a＜2．
故实数a的取值范围是（-2，2）．
故选：C

点评：本题是中档题，考查函数的导数与函数的极值的关系，考查转化思想，计算能力．