Question

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象的一部分如图，已知函数与x轴交于点P（-2，0）和（6，0），点M，N分别是最高点和最低点，且∠MPN=

π

2

（Ⅰ）求函数f（x）表达式；
（Ⅱ）若f（x₀+

10

3

）=

3

，求sin（

π

4

x₀-

π

6

）的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）根据图象求出周期T，再由周期公式求出ω的值，再设M（10，A），N（2，-A），由题意得

PM

•

PN

=0，根据向量的坐标运算和数量积运算，列出方程求出A，把图象上的点坐标（2，-A）代入解析式，根据条件和特殊角的正弦值求出φ的值；
（Ⅱ）根据条件和（Ⅰ）代入后化简得：sin(

π

8

x0-

π

3

)=

1

4

，利用二倍角余弦公式求出cos(

π

4

x0-

2π

3

)的值，利用诱导公式求出sin(

π

4

x0-

π

6

)的值．

解答： 解：（Ⅰ）依题意好人图象得T=16，∴T=

2π

ω

=16，解得ω=

π

8

，
设M（10，A），N（2，-A），
∵∠MPN=

π

2

，∴

PM

•

PN

=0，
∴

PM

•

PN

=(12，A)•(4，-A)=48-A2=0，解得A=4

3

，
∴f(x)=4

3

sin(

π

8

x+φ)
∵f（x）又过点N（2，-A），得sin(

π

4

+φ)=-1
∴φ=2kπ-

3π

4

，k∈Z
∵|φ|＜π，∴φ=-

3π

4

∴f(x)=4

3

sin(

π

8

x-

3

4

π)，
（Ⅱ）把f(x0+

10

3

)=

3

代入f（x）得，4

3

sin(

π

8

x0-

π

3

)=

3

，
则sin(

π

8

x0-

π

3

)=

1

4

，
∵cos(

π

4

x0-

2π

3

)=cos2(

π

8

x0-

π

3

)=1-2sin2(

π

8

x0-

π

3

)=

7

8

，
∵sin(

π

4

x0-

π

6

)=cos[(

π

4

x0-

π

6

)-

π

2

]=cos(

π

4

x0-

2π

3

)
∴sin(

π

4

x0-

π

6

)=

7

8

．

点评：本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的图象求解析式，向量垂直的条件，向量的坐标运算和数量积运算，以及二倍角余弦公式、诱导公式，变角是三角恒等变换的关键，考查识图能力和转化思想，属于中档题．