Question

如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE=BE，平面ABCD⊥平面ABE，动点F在CE上，无论点F运动到何处时，总有BF⊥AE．
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求三校锥的D-ACE体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（ I）根据点F运动到何处时，总有BF⊥AE，推断出AE⊥平面BCE，进而根据面面垂直的判定定理推断出平面ADE⊥平面BCE；
（ II）作AB的中点G，连结EG，由（ I）知AE⊥平面BCE，根据线面垂直的性质可知AE⊥BE，AE=BE，进而根据EG⊥AB，求得EG，根据面面垂直的性质可推断出GE⊥平面ABCD最后根据V_D-ACE=V_E-ADC求得三校锥的D-ACE体积．

解答： （ I）证明：∵点F运动到何处时，总有BF⊥AE，
∴AE⊥平面BCE，
∵AE?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面BCE；
（ II）作AB的中点G，连结EG，
由（ I）知AE⊥平面BCE，
∵BE?平面BCE，
∴AE⊥BE，
∵AE=BE，
∴EG⊥AB，EG=

1

2

AB=1
∵平面ABCD⊥平面ABE，EG?平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，
∴GE⊥平面ABCD，
∴V_D-ACE=V_E-ADC=

1

3

•AE•S_△ADC=

1

3

×1×

1

2

×2×2=

2

3

．

点评：本题主要考查了线面垂直，面面垂直的判定定理的应用．判断面面垂直的重要一步就是先判断出线面垂直．