Question

如图，在四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=

1

2

AD，四边形ABCD是直角梯形中，∠ABC=∠BAD=90°．
（1）求证：CD⊥平面PAC；
（2）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）过C作CE∥AB，交AD于E，由已知条件利用勾股定理求出CD⊥AC，由此能证明CD⊥平面PAC．
（2）由已知条件求出CE⊥平面PAD，过E作EF⊥PD于F，连结CF，得到∠GHC是二面角A-PD-C的平面角，同此能求出二面角A-PD-C的余弦值．

解答： （1）证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴CD⊥PA．（1分）
又∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴AC=

2

AB，（2分）
过C作CE∥AB，交AD于E，
则CE=AB=BC=DE，∠CED=90°，（3分）
∴CD=

2

AB，（4分）
在△ACD中，AC²+CD²=4AB²=AD²，∴CD⊥AC．（5分）
又∵PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．（6分）
（2）解：∵CE⊥AD，CE⊥PA，
∴CE⊥平面PAD．（7分）
过E作EF⊥PD于F，连结CF，得CF⊥PD．（8分）
∴∠GHC是二面角A-PD-C的平面角．（9分）
设AD=2，则PA=AB=CE=DE=1，DP=

5

．
∵△PAD∽△DEF，
∴

EF

PA

=

DE

DP

，
∴EF=

1

5

．（11分）
∴CF=

CE2+EF2

=

1+ 1 5

=

30

6

，（12分）
∴cos∠CFE=

EF

CF

=

6

6

．
∴二面角A-PD-C的余弦值为

6

6

．（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．