Question

已知双曲线C与双曲线x²-

y2

2

=1有共同的渐近线，且双曲线C过点M（2，2），则过点A（1，1）能否作直线l，使l与双曲线C交于Q₁、Q₂两点，且A是线段Q₁Q₂的中点，这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线方程，假设直线l存在．由已知条件利用点差法求出直线l的方程为2x-y-1=0，y=2x-1代入双曲线方程，得2x²-4x+5=0，由△＜0，推导出直线l不存在．

解答： 解：设双曲线方程为x²-

y2

2

=λ
代入点M（2，2），得λ=2，
∴双曲线C的方程为

x2

2

-

y2

4

=1
设点Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂），则2x₁²-y₁²=4，2x₂²-y₂²=4
由点差法作差，利用A是线段Q₁Q₂的中点，代入得k=2                                 
∴直线l的方程为y-1=2（x-1）即y=2x-1            
y=2x-1代入双曲线方程，得2x²-4x+5=0
∵△=16-4×2×5=-24＜0，
∴直线l与双曲线C无交点，故直线l不存在．

点评：本题考查双曲线方程、直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和根的判别式的合理运用．