Question

如图，在平面直角坐标系中，点E，F是x轴上的两个定点，|EO|=|OF|=

3

，G为坐标平面上的动点，|GF|=4，H是GE的中点，点P在线段FG上，且

HP

•

EG

=0．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+2与点P的轨迹有两个不同的交点A，B，且

OA

•

OB

＞0，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出点P的轨迹是以E，F焦点的椭圆，由已知条件推导出点P的轨迹方程．
（Ⅱ）由

y=kx+2 x2 4 +y2=1

，整理得（1+4k²）x²+16kx+12=0，由此利用已知条件能求出实数k的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由

HP

•

EG

=0，得

HP

⊥

EG

，
又H为GE中点，∴|PE|=|PG|，
∴|PE|+|PF|=|PG|+|PF|=|GF|=4，
∴点P的轨迹是以E，F焦点的椭圆，
且a=2，c=

3

，b=

a2-c2

=1，
∴点P的轨迹方程为

x2

4

+y2=1（6分）
（Ⅱ）由

y=kx+2 x2 4 +y2=1

，整理得（1+4k²）x²+16kx+12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有x₁+x2=

-16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

①，
且△=16（4k²-3）＞0，（8分）
若

OA

•

OB

＞0，则x₁x₂+y₁y₂＞0，
即x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）＞0，
整理得（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4＞0，
再将①代入，得：(1+k2)

12

1+4k2

-2k

16

1+4k2

+4＞0，
整理k²-4＜0，（10分）
又∵△＞0，∴

3

4

＜k2＜4，
∴实数k的取值范围是{k|-2＜k＜-

3

2

或

3

2

＜k＜2}．（12分）

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．