Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）在数列{b_n}中，b_n=a_n•log₃a_n，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）根据a_n与S_n的关系，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出数列{b_n}的通项公式，利用错位相减法即可求数列{b_n}的前n项和．

解答： 解：（ I）∵a_n+1=2S_n+1（n≥1），∴a_n=2S_n-1+1（n≥2），
∴a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2），
又a₁=1，a₂=2a₁+1=3，
∴a₂=3a₁，∴an+1=3an(n∈N*)．
∵a₁=1，∴数列{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴an=3n-1(n∈N*)．
（ II）∵bn=an•log3an=(n-1)•3n-1，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=0•3⁰+1•3¹+…+（n-1）•3^n-1
∴3Sn=0•31+1•32+…+(n-2)•3n-1+(n-1)•3n，
∴-2Sn=31+32+…+3n-1-(n-1)•3n，
∴-2Sn=

3×(1-3n-1)

1-3

-(n-1)•3n=(

3

2

-n)•3n-

3

2

，
∴Sn=(

n

2

-

3

4

)•3n+

3

4

．

点评：本题主要考查等比数列的应用，考查数列求和，要求熟练掌握错位相减法进行求和，考查学生的运算能力．