Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，且经过点P（1，

3

2

）．过它的两个焦点F₁，F₂分别作直线l₁与l₂，l₁交椭圆于A、B两点，l₂交椭圆于C、D两点，且l₁⊥l₂．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求四边形ACBD的面积S的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，得到椭圆方程为

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，将点P（1，

3

2

）代入椭圆方程，能求出椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）当l₁，l₂中有一条直线的斜率不存在时，四边形的面积为S=6；若l1 与l₂的斜率都存在，设l₁的斜率为k，则l₂的斜率为-

1

k

，直线l₂的方程为y=k（x+1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

，得|AB|=

12(k2+1)

4k2+3

，用-

1

k

代替k，得|CD|=

12(k2+1)

3k2+4

，由此能求出四边形ABCD面积的S∈[

288

49

，6]．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，
且经过点P（1，

3

2

），
∴

c

a

=

1

2

，即a=2c，∴a²=4c²，b²=3c²，…（2分）
∴椭圆方程为

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，
将点P（1，

3

2

）代入椭圆方程，得：

1

4c2

+

9 4

3c2

=1，
解得c²=1，…（4分）
∴所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（Ⅱ）当l₁，l₂中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，
此时四边形的面积为S=6，…（7分）
若l1 与l₂的斜率都存在，设l₁的斜率为k，则l₂的斜率为-

1

k

．
∴直线l₂的方程为y=k（x+1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

，
消去y整理得，（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，（1）
∴x1+x2=

8k2

4k2+3

，x1 x2=

4k2-12

4k2+3

，…（8分）
∴|x₁-x₂|=

12 k2+1

4k2+3

，∴|AB|=

1+k2

•|x1-x2|=

12(k2+1)

4k2+3

，（2）…（9分）
注意到方程（1）的结构特征，或图形的对称性，
可以用-

1

k

代替（2）中的k，得|CD|=

12(k2+1)

3k2+4

，…（10分）
∴S=

1

2

|AB|•|CD|=

72(1+k2)2

(4k2+3)•(3k2+4)

，令k²=t∈（0，+∞），
∴S=

72(1+t)2

(4t+3)(3+4)

=

6(12t2+25t+12)-6t

12t2+25t+12

=6-

6

12t+ 12 t +25

≥6-

6

49

=

288

49

，
∴S∈[

288

49

，6），
综上可知，四边形ABCD面积的S∈[

288

49

，6]．…（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查四边形面积的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．