Question

已知函数f（x）=log₅

1+x

1-x

．
（1）求f（x）的定义域；
（2）证明f（x）在定义域内是单调递增函数；
（3）解不等式：f（x）＜f（1-x）．（提示：若ab（或

a

b

）＞0，则有

a＞0 b＞0

或

a＜0 b＜0

）

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由

1+x

1-x

＞0，求得函数f（x）的定义域为（-1，1）．
（2）先求导，利用导数历来判断函数的单调性．
（3）利用函数的单调性，列出不等式，解出即可．

解答： 解：（1）∵

1+x

1-x

＞0，
∴即-1＜x＜1
∴函数f（x）的定义域（-1，1）．
（2）∵f（x）=log₅

1+x

1-x

．
∴f′（x）=

1

1+x 1-x •ln5

•

2

(1-x)2

=

2

(1-x2)ln5

＞0，
∴f（x）在定义域内是单调递增函数
（3）由f（x）＜f（1-x）得，
log₅

1+x

1-x

＜log₅

2-x

x

．
由于f（x）是增函数
∴

1+ x

1-x

＜

2-x

x

，
解得，x＜

1

2

∴0＜x＜

1

2

点评：本题考查了对数的函数的定义域单调性和不等式的解法，属于中档题．