Question

已知函数y=f（x）定义在实数集上，且对任意x，y∈R均有f（x+y）=f（x）+f（y），又对任意的x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=-3．
（1）判断函数y=f（x）的奇偶性．
（2）证明函数y=f（x）在R上为单调减函数．
（3）试求函数y=f（x）在[m，n]（m，n∈Z，且mn＜0）上的值域．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）通过赋值法，求出f（0）=0，然后利用奇偶性的定义，判断函数y=f（x）的奇偶性．
（2）先根据f（x+y）=f（x）+f（y），再结合x＞1时，f（x）＜0，以及单调性的定义即可得到答案；
（3）通过（2）结合函数的单调性，直接求解函数y=f（x）在[m，n]（m，n∈Z，且mn＜0）上的值域．

解答： 解：（1）令x=0，∴f（y）=f（0）+f（y），∴f（0）=0，令y=-x，则由f（x+y）=f（x）+f（y），
可得f（0）=f（x）+f（-x），∴f（x）=-f（-x），∴函数是奇函数．
（2）对任意的x＞0，都有f（x）＜0，
令x₂=x+y，x₁=y∈R，则x₂＞x₁，
∴f（x+y）=f（x）+f（y），化为f（x₂）=f（x）+f（x₁），
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴函数y=f（x）在R上为单调减函数．
（3）已知条件可知：f（n）=nf（1），f（1）=-1，f（m）=-m，f（n）=-n，函数是单调减函数，
函数的值域：[-n，-m]．

点评：本题考点是抽象函数及其应用，考查用赋值法求函数值，以及灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性，此类题要求答题者有较高的数学思辨能力，属于较高难度的题目．