Question

已知数列{a_n}的通项公式a_n=

1

(n+1)2

（n∈N^*），记f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）．
（1）试通过计算f（1），f（2），f（3）的值，推测出f（n）的值；
（2）试用数学归纳法证明你的推测．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：推理和证明

分析：（1）根据{a_n}的通项公式算出a₁，a₂，a₃，再代入f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），算出f（1），f（2），f（3）的值，然后由前三项推测出f（n）的值；
（2）第一步，先将n=1时代入猜想验证；第二步，写出假设（只需将f（n）中的n换成k即可），再利用f（n+1）=f（n）•（1-a_n+1），把a_k+1算出来连同假设一起代入上式，算出f（k+1）进行化简即可．

解答： 解：（1）由a_n=

1

(n+1)2

（n∈N^*）得a₁=

1

4

，a₂=

1

9

，a₃=

1

16

，
将其代入f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）得f（1）=

3

4

，f（2）=

4

6

，f（3）=

5

8

，
猜想f（n）=

n+2

2n+2

，（n∈N^*）
（2）证明：①当n=1时，f（1）=

1+2

2×1+2

=

3

4

，由（1）可知，猜想成立．
②假设n=k时，猜想成立，即f（k）=

k+2

2k+2

成立，
由f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）可知f（k+1）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_k）（1+a_k+1）=f（k））（1-a_k+1）
=

k+2

2k+2

（1-

1

(k+2)2

）
=

k+2

2(k+1)

•

(k+2)2-1

(k+2)2

=

k+2

2(k+1)

•

(k+3)(k+1)

(k+2)2

=

(k+1)+1

2(k+1)+2

即n=k+1时猜想也成立．
由①②可知，猜想对任意的正整数都成立．

点评：第一步在验证时，一定是n的初始值n₀；第二步证明n=k+1时的命题时，一定要用上归纳假设，否则就不是数学归纳法，同时要特别注意从n=k到n=k+1时命题之间的联系．