Question

已知Q是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上一点，P（1，-1），F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（1）若QF₁²-QF₂²=4，求cos∠F₁QF₂的值；
（2）求QP+QF₂的最大值，并求出此时Q点坐标．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用QF₁²-QF₂²=4，结合椭圆的定义，求出QF₁=2.5，QF₂=1.5，再利用余弦定理，即可求cos∠F₁QF₂的值；
（2）QP+QF₂=PQ+4-QF₁≤4+PF₁=4+

5

，当且仅当P，Q，F₁三点共线时，取等号，直线PF₁的方程代入椭圆方程，即可求出此时Q点坐标．

解答： 解：（1）∵QF₁²-QF₂²=4，QF₁+QF₂=4，
∴QF₁-QF₂=1，
∴QF₁=2.5，QF₂=1.5，
∴cos∠F₁QF₂=

2．52+1．52-4

2•2.5•1.5

=0.6；
（2）QP+QF₂=PQ+4-QF₁≤4+PF₁=4+

5

，当且仅当P，Q，F₁三点共线时，取等号．
∴QP+QF₂的最大值为4+

5

．
直线PF₁的方程为y=-

1

2

（x+1），代入椭圆方程可得4x²+2x-11=0，
可得x=

-1-3 5

4

（另一根舍去），
∴y=

3 5 -3

8

，
∴Q（

-1-3 5

4

，

3 5 -3

8

）．

点评：本题考查椭圆的方程与定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．