Question

如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且AC=AB=BC=2，PA⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点
（1）证明：AE⊥PD；
（2）若H为PD上一点，且AH⊥PD，EH与平面PAD所成角的正切值为

6

2

，求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：空间角

分析：（1）由已知条件推导出△ABC为正三角形，AE⊥BC，AE⊥AD，PA⊥AE，由此能证明AE⊥PD．
（2）由已知条件推导出∠EHA为EH与平面PAD所成的角，由此能求出二面角的余弦值．

解答： （1）证明：由AC=AB=BC，得△ABC为正三角形．
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．
又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD．又PD?平面PAD，
所以AE⊥PD．（5分）
（2）解：因为AH⊥PD，
由（1）知AE⊥平面PAD，
则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．
在Rt△EAH中，AE=

3

，
此时tan∠EHA=

AE

AH

=

3

AH

=

6

2

，
因此AH=

2

．又AD=2，所以∠ADH=45°，
所以PA=2．（8分）
因为PA⊥平面ABCD，PA?平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABCD．
过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，
过O作OS⊥AF于S，连结ES，
则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，
在Rt△AOE中，EO=AE•sin 30°=

3

2

，AO=AE•cos 30°=

3

2

，
又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO•sin 45°=

3 2

4

，
又SE=

EO2+SO2

=

3 4 + 9 8

=

30

4

，
在Rt△ESO中，cos∠ESO=

SO

SE

=

3 2 4

30 4

=

15

5

，
即所求二面角的余弦值为

15

5

．（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．