Question

已知椭圆C：

x2

20

+

y2

15

=1，
（1）若P（x，y）是C上一点，求x+5y的最小值；
（2）证明椭圆C的面积S=10

3

π．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆的参数方程、两角和差的正弦公式及其单调性即可得出；
（2）利用椭圆C的面积S=πab即可证明．

解答： （1）解：设x=2

5

cosθ，y=

15

sinθ（θ∈[0，2π）），
则x+5y=2

5

cosθ+5

15

sinθ=

395

sin（θ+φ）≥-

395

，其中φ=arctan

2 3

15

，
∴当sin（θ+φ）=-1时，x+5y取得最小值-

395

．
（2）证明：椭圆C的面积S=πab=π×

20

×

15

=10

3

π．

点评：本题考查了椭圆的参数方程、两角和差的正弦公式及其单调性、椭圆C的面积S=πab，属于中档题．