Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC-ccos（A+C）=3acosB．
（1）求cosB的值；
（2）若

BA

•

BC

=2，且a=

6

，求b的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：（1）利用三角形内角和定理、诱导公式、正弦定理即可得出；
（2）利用数量积运算、余弦定理即可得出．

解答： 解：（1）在△ABC中，cos（A+C）=cos（π-B）=-cosB，
∴bcosC-ccos（A+C）=3acosB可化为bcosC-ccosB=3acosB．
由正弦定理可得：sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，

即sin(B+C)=3sinAcosB， 可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0，

故cosB=

1

3

．
（2）由

BA

•

BC

=2，可得accosB=2，

即ac=6， 又a= 6 ，可得c= 6 . 由b2=a2+c2-2accosB，

可得b=2

2

．

点评：本题综合考查了三角形内角和定理、诱导公式、正弦余弦定理、数量积运算等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．