Question

已知函数f（x）=|2x+1|-|x|．
（1）求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若存在x∈R，使得f（x）≤m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）不等式即|2x+1|-|x|＞0，分类讨论，把它转化为与之等价的3个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由题意可得 m≥f_min（x），根据f（x）的解析式，求得f_min（x） 的值，可得m的范围．

解答： 解：（1）不等式f（x）＞0 即|2x+1|-|x|＞0，
∴

x＜- 1 2 -x-1＞0

①，或

- 1 2 ≤x＜0 3x+1＞0

②，或

x≥0 x+1＞0

 ③．
解①求得x＜-1，解②求得-

1

3

＜x＜0，解③求得x≥0，
故原不等式的解集为{x|x＜-1，或x＞-

1

3

}．
（2）存在x∈R，使得f（x）≤m成立，故m≥f_min（x）．
由于f（x）=

-x-1 ，x＜- 1 2 3x+1 ，- 1 2 ≤x＜0 x+1 ，x≥0

，
∴f_min（x）=f（-

1

2

）=-

1

2

，∴m≥-

1

2

，
即m的取值范围为[-

1

2

，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对值的函数，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．