Question

已知函数f（x）=3x+a与函数g（x）=3x+2a在区间（b，c）上都有零点，则

a2+2ab+2ac+4bc

b2-2bc+c2

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,基本不等式

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：根据函数f（x）=3x+a，与函数g（x）=3x+2a在区间（b，c）上都有零点，可得a+2b＜0，a+2c＞0恒成立，进而根据

a2+2ab+2ac+4bc

b2-2bc+c2

=

(a+2b)(a+2c)

(b-c)2

=

4(a+2b)(a+2c)

[(a+2b)-(a+2c)]2

，结合基本不等式可得

a2+2ab+2ac+4bc

b2-2bc+c2

的最小值．

解答： 解：∵函数f（x）=3x+a，与函数g（x）=3x+2a在区间（b，c）上都有零点，且f（x）与g（x）均为增函数
∴f（b）=3b+a＜0，即b＜-

a

3

，
g（b）=3b+2a＜0，即b＜-

2a

3

，
f（c）=3c+a＞0，即c＞-

a

3

，
g（c）=3c+2a＞0，即c＞-

2a

3

，
∵当a＞0时，a+2b＜0，a+2c＞0，
当a＜0时，a+2b＜0，a+2c＞0，
当a=0时，a+2b＜0，a+2c＞0，
即a+2b＜0，a+2c＞0恒成立，即-a-2b＞0，a+2c＞0恒成立，
∴

a2+2ab+2ac+4bc

b2-2bc+c2

=

(a+2b)(a+2c)

(b-c)2

=

(a+2b)(a+2c)

1 4 [(a+2b)-(a+2c)]2

=

4(a+2b)(a+2c)

[(a+2b)-(a+2c)]2

=

4(a+2b)(a+2c)

(a+2b)2+(a+2c)2-2(a+2b)(a+2c)

=

4(a+2b)(a+2c)

(a+2b)2+(a+2c)2+2(-a-2b)(a+2c)

≥

4(a+2b)(a+2c)

4(-a-2b)(a+2c)

=-1，
∴

a2+2ab+2ac+4bc

b2-2bc+c2

的最小值为-1，
故答案为：-1

点评：本题考查的知识点是函数零点的判定定理，基本不等式，其中对式子

a2+2ab+2ac+4bc

b2-2bc+c2

=

(a+2b)(a+2c)

(b-c)2

=

4(a+2b)(a+2c)

[(a+2b)-(a+2c)]2

的分解变形是解答的关键．